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什么是分解质因数具体案例输入格式输出格式数据范围
原理讲解原始方法转换思路利用试除法判定质数的思路为什么不需要单独判断是否为质数
什么是分解质因数
分解质因数是指将一个合数用质因数相乘的形式表示出来，即将一个合数分解为若干个质数的乘积。其中每个质数都是这个合数的因数。例如，将30分解质因数，得到2×3×5，即将30表示为2、3、5三个质数的乘积。分解质因数只针对合数，对于质数和1，不需要进行分解质因数。
具体案例
给定
n
n
n 个正整数
a
i
a_i
ai，将每个数分解质因数，并按照质因数从小到大的顺序输出每个质因数的底数和指数。
输入格式
第一行包含整数
n
n
n。
接下来
n
n
n 行，每行包含一个正整数
a
i
a_i
ai。
输出格式
对于每个正整数
a
i
a_i
ai，按照从小到大的顺序输出其分解质因数后，每个质因数的底数和指数，每个底数和指数占一行。
每个正整数的质因数全部输出完毕后，输出一个空行。
数据范围
1
≤
n
≤
100
1≤n≤100
1≤n≤100,
2
≤
a
i
≤
2
×
1
0
9
2≤a_i≤2×10^9
2≤ai≤2×109
输入样例：
2
6
8
输出样例：
2 1
3 1
2 3
原理讲解
原始方法
原始的分解质因数的方法，是从小到大遍历所有小于n的数i，如果n % i == 0 且i为素数，那么i就是其中的一个质因数。 按照这样的思路，我们只需要判断一次取余运算，判断一次素数。但是对于这道题的数据范围，一定会TLE。
转换思路
由于这道题还需要求出每个质因数的指数，那每次找到这个质因数之后，让n不停的除这个数i，直到除完为止，每除一次就表示次数+1 这样就不需要把n遍历完，每找到一个素数k，n会减小1~k^s倍 但是每次除法的过程也会有s次操作，数据范围仍然不允许
利用试除法判定质数的思路
可以把试除的时间复杂度降到O(sqrt(n)) 只需要判断sqrt(n)以内的质因数，但是sqrt(n)~n之间可能存在质因数且最多一个，所以在遍历完之后需要判断n是否被除尽，如果还有剩，那剩下的这个一定是一个质因数。
为什么不需要单独判断是否为质数
这其实用到了埃氏筛法筛素数的一个原理： 我们每判断完一个素数x，就在2 - i-1之间把x的倍数筛了一遍了，于是在2 - i-1之间就不存在x的倍数了 反证法证一下： 假设我们遍历到一个数i是一个合数，那么它可以分解质因数，那么在2 - i-1之间就一定可以找到一个质数是i的因数，而根据我们的算法，前面所有遇到的质数已经把该质数的倍数除干净了，所以不存在任何一个质数的倍数，所以它在前面找不到一个质因数，所以它一定不是合数，与假设相矛盾，所以它一定是质数。
#include
using namespace std;
void divide(long long n){
// int x = sqrt(n);
int i;
for(i = 2; i <= n / i; i++){
if(n % i == 0){
int s = 0;
while(n % i == 0){
n /= i;
s++;
}
cout << i << " " << s << endl;
}
}
if(n > 1) cout << n << " " << 1 << endl;
cout << endl;
}
int main(){
int n;
cin >> n;
while(n--){
long long a;
cin >> a;
divide(a);
}
return 0;
}
作者：为梦而生 链接：https://www.acwing.com/activity/content/code/content/7348563/ 来源：AcWing 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。